Eine Kugel der Masse m hängt an einem Faden der Länge l Mit welcher Mindestgeschwindigkeit müssen wir beginnen den Aufhängepunkt in horizontaler Richtung zu bewegen damit sich die Kugel kreisförmig um diesen Punkt zu bewegen beginnt Welche Spannung

Question

Eine Kugel der Masse m hängt an einem Faden der Länge l. Mit welcher Mindestgeschwindigkeit müssen wir beginnen, den Aufhängepunkt in horizontaler Richtung zu bewegen, damit sich die Kugel kreisförmig um diesen Punkt zu bewegen beginnt? Welche Spannung hat der Faden in dem Moment, in dem er horizontal verläuft?

Konrad Oestrovsky · Answer

Um die Mindestgeschwindigkeit zu berechnen, mit der wir beginnen müssen, den Aufhängepunkt horizontal zu bewegen, damit die Kugel eine kreisförmige Bewegung um diesen Punkt beginnt, betrachten wir zunächst die Kräfte, die auf die Kugel wirken.

Mindestgeschwindigkeit $v_{ ext{min}}$ :

Zunächst müssen wir verstehen, dass die Kugel in eine kreisförmige Bewegung übergeht, wenn die Zentrifugalkraft groß genug ist, um die Gewichtskraft der Kugel entgegenzuwirken. Zu dem Zeitpunkt, wenn der Faden horizontal ist, gilt:
$F_{ ext{Z}} = m \cdot \frac{v_{ ext{min}}^2}{l} = m \cdot g$
Hierbei ist $F_{ ext{Z}}$ die Zentripetalkraft, $g$ die Erdbeschleunigung und $l$ die Länge des Fadens.

Um $v_{ ext{min}}$ zu berechnen, setzen wir die beiden Kräfte gleich:
$m \cdot \frac{v_{ ext{min}}^2}{l} = m \cdot g$
Die Masse $m$ kürzt sich heraus:
$\frac{v_{ ext{min}}^2}{l} = g$
und lösen nach $v_{ ext{min}}$ auf:
$v_{ ext{min}} = \sqrt{g \cdot l}$
Spannung des Fadens $T$ im horizontalen Zustand:

Im Moment, wenn der Faden horizontal verläuft, wirkt die gesamte Zentripetalkraft als Spannung im Faden. Diese Spannung $T$ lässt sich durch die Zentripetalkraft ausrechnen:
$T = m \cdot \frac{v_{ ext{min}}^2}{l}$
Da wir bereits wissen, dass $v_{ ext{min}} = \sqrt{g \cdot l}$ , können wir dies in die Gleichung einsetzen:
$T = m \cdot \frac{(\sqrt{g \cdot l})^2}{l} = m \cdot g$
Also beträgt die Spannung im Faden:
$T = m \cdot g$
Zusammengefasst:
- Die Mindestgeschwindigkeit, mit der der Aufhängepunkt zu bewegen ist, damit die Kugel eine kreisförmige Bewegung beginnt, beträgt $v_{ ext{min}} = \sqrt{g \cdot l}$ .
- Die Spannung des Fadens im Moment, in dem er horizontal verläuft, beträgt $T = m \cdot g$ .

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